El máximo común divisor, mcd. Qué es y cómo calcularlo.
- Nota: La descomposición en factores primos de un número (descomposición factorial) = descomponer el número como un producto (multiplicación) de uno o varios números primos
- Supongamos que al dividir el número "a" por el número "t", el resto es cero.
- Cuando observamos la descomposición en factores primos de "a" y "t", encontramos que:
- 1) todos los factores primos de "t" también son factores primos de "a"
- y
- 2) los exponentes de los factores primos de "t" son iguales o menores que los exponentes de los factores primos de "a" (vea la * Nota a continuación)
- Por ejemplo, el número 12 es un divisor del número 60:
- 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
- 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5
- * Nota: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Decimos que 2 fue elevado a la potencia de 3, o más simple, 2 elevado a 3. En este ejemplo, 3 es el exponente y 2 es la base. El exponente indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma. 23 es la potencia y 8 es el valor de la potencia.
- Si el número "t" es un divisor común de los números "a" y "b", entonces:
- 1) "t" tiene solo los factores primos que también intervienen en la descomposición en factores primos de "a" y "b".
- y
- 2) cada factor primo de "t" tiene los exponentes más pequeños en comparación con los factores primos de los números "a" y "b".
- Por ejemplo, el número 12 es el divisor común de los números 48 y 360. A continuación se muestran sus descomposiciones en factores primos:
- 12 = 22 × 3
- 48 = 24 × 3
- 360 = 23 × 32 × 5
- Puedes ver que el número 12 tiene solo los factores primos que también ocurren en la descomposición en factores primos de los números 48 y 360.
- Puedes ver arriba que los números 48 y 360 contienen varios divisores comunes: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. De estos, 24 es el máximo común divisor (mcd) de 48 y 360.
- 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3
- 48 = 24 × 3
- 360 = 23 × 32 × 5
- 24, el máximo común divisor de los números 48 y 360, se calcula como el producto de todos los factores primos comunes de los dos números, tomados por los menores exponentes (potencias).
- Si dos números "a" y "b" no tienen otro divisor común que 1, mcd (a, b) = 1, entonces los números "a" y "b" se llaman números primos entre sí (coprimos, primos relativos).
- Si los números "a" y "b" no son primos entre sí, entonces todo divisor común de "a" y "b" es divisor del máximo común divisor de "a" y "b".
- Veamos un ejemplo de cómo calcular el máximo común divisor, mcd, de los siguientes números:
- 1.260 = 22 × 32
- 3.024 = 24 × 32 × 7
- 5.544 = 23 × 32 × 7 × 11
- mcd (1.260, 3.024, 5.544) = 22 × 32 = 252
- Y otro ejemplo:
- 900 = 22 × 32 × 52
- 270 = 2 × 33 × 5
- 210 = 2 × 3 × 5 × 7
- mcd (900, 270, 210) = 2 × 3 × 5 = 30
- Y un ejemplo más:
- 90 = 2 × 32 × 5
- 27 = 33
- 22 = 2 × 11
- mcd (90, 27, 22) = 1 - Los tres números no tienen factores primos en común, son primos entre sí.