mcd (6; 4.313) = ? Calcular el máximo común divisor de números, MCD, usando la calculadora en línea

Calcular el máximo común divisor (6; 4.313) = ? Método 1. Descomposición de números en factores primos. Método 2. Algoritmo de Euclides.

Método 1. Descomposición de números en factores primos:

Descomposición de un número en factores primos: es encontrar los números primos que se multiplican para formar ese número.


6 = 2 × 3;
6 no es número primo, es un número compuesto;


4.313 = 19 × 227;
4.313 no es número primo, es un número compuesto;


* Los números que solo se dividen por sí mismos y por 1, se llaman números primos. Un número primo tiene solo dos divisores: 1 y él mismo.
* Todo número natural que tiene uno o más divisores distintos a 1 y a sí mismo se denomina compuesto.


Calcular el máximo común divisor:

Tome todos los factores primos comunes, por las poderes más bajas.


PERO... Los dos números no tienen factores primos comunes.


mcd (6; 4.313) = 1



mcd (6; 4.313) = 1;
Números primos entre sí (coprimos, primos relativos).


Método 2. Algoritmo de Euclides:

Este algoritmo implica la operación de dividir y calcular residuos.


'a' y 'b' son los dos enteros positivos, 'a' >= 'b'.


Divida 'a' por 'b' y obtenga el resto, 'r'.


Si 'r' = 0, DETÉNGASE. 'b' = el MCD de 'a' y 'b'.


De lo contrario: Reemplaza ('a' por 'b') y ('b' por 'r'). Regrese al paso de la división, arriba.



La operación 1. Divido el numero mayor con el número menor:
4.313 ÷ 6 = 718 + 5;
La operación 2. Divido el número menor al resto de la operación antes mencionada:
6 ÷ 5 = 1 + 1;
La operación 3. Divido el resto de la operación 1 por el resto de la operación 2:
5 ÷ 1 = 5 + 0;
En este momento, porque no hay resto, paramos:
1 es el numero buscado, el último resto distinto de cero.
Este es el máximo común divisor.


Máximo común divisor:
mcd (6; 4.313) = 1

¿Por qué la respuesta es un divisor de los valores iniciales 'a' y 'b'?

Nota: 'a' ÷ 'b' = 'q' + 'r' es equivalente a la ecuación: 'a' = 'q' × 'b' + 'r', donde 'q' es el cociente de la operación.


Cuando el valor final de 'r' = 0, el valor final de 'b' es un divisor del valor final de 'a', ya que 'a' = 'q' × 'b' + 0.


Retroceda a través de cada uno de los pasos anteriores y analice cada ecuación, 'a' = 'q' × 'b' + 'r', y observe que en cada paso el valor final de 'b' es un divisor de cada valor de 'r' y de cada valor de 'b' y por lo tanto es un divisor de cada valor de 'a'. Entonces, el último valor de 'b', que es el último resto diferente de cero, es un divisor de los valores iniciales de 'a' y 'b'.


¿Por qué la respuesta es igual al MCD?

Mira todas las ecuaciones: 'a' = 'q' × 'b' + 'r'. Como vimos anteriormente, el valor final de 'b' es un divisor de todos los valores de 'a', 'b' y 'r'.


Por lo tanto, el valor final de 'b' también debe ser un divisor del último valor de 'r', el que es diferente de cero. Y el valor final de 'b' no podría ser mayor que el último valor de 'r'. Dado que el valor final de 'b' es igual al último valor de 'r', por lo tanto, el valor final de 'b' es el divisor más grande de los valores iniciales de ('a' y 'b'). Y, por definición, se llama el máximo común divisor de números.


mcd (6; 4.313) = 1;
números primos entre sí (coprimos, primos relativos).

Respuesta final:
Máximo común divisor
mcd (6; 4.313) = 1;
Números primos entre sí (coprimos, primos relativos).
Los números no tienen factores primos comunes.

¿Para qué necesitamos el máximo común divisor?

Cuando conoces el MCD del numerador y denominador de una fracción, resulta más fácil simplificarlo a su equivalente más simple, irreducible.



Más operaciones de este tipo:

Calculadora: calcula mcd, el máximo común divisor

Los últimos máximos comunes divisores calculados

Teoría: el máximo común divisor MCD

Si "t" es el divisor de "a", entonces al descomponer en factores a "t" aparecen solo números primos que también aparecen cuando se descompone "a" y que pueden tener los exponentes iguales como máximo con los que intervienen en la descomposición de "a".

Por ejemplo, 12 es el divisor de 60:
12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5

Si "t" es el divisor común de "a" y "b", entonces "t" tiene solo factores primos que intervienen también en "a" y en "b", cada factor a la potencia más baja.

Por ejemplo, 12 es el divisor común de 48 y 360. De la descomposición en factores primos:
12 = 22 × 3
48 = 24 × 3
360 = 23 × 32 × 5
Se nota que 48 y 360 tienes más divisores comunes: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Entre ellos, 24 es el máximo común divisor (mcd) de 48 y 360.

Si dos numeros, "a" y "b", no tienen otro divisor común que 1, mcd (a, b) = 1, los números "a" y "b" se llaman primos entre ellos.

Si "a" y "b" no son primos entre ellos, entonces cada divisor común de "a" y "b" es el divisor del máximo común divisor de "a" y "b", porque el máximo común divisor es el producto de todos los factores primos que intervienen en "a" y en "b", en la más baja potencia. En este procedimiento se basa la investigación del máximo común divisor de muchos números, en conformidad con el ejemplo que sigue.
Ejemplo de determinación de mcd:
1260 = 22 × 32
3024 = 24 × 32 × 7
5544 = 23 × 32 × 7 × 11
mcd(1260, 3024, 5544) = 22 × 32 = 252


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