mcd (6.537; 129) = ? Calcular el máximo común divisor de los dos números. Calculadora online

mcd (6.537; 129) = ?

Método 1. La descomposición en factores primos:

La descomposición en factores primos de un número (descomposición factorial) = descomponer el número como un producto (multiplicación) de uno o varios números primos.


6.537 = 3 × 2.179
6.537 no es un numero primo sino un numero compuesto.


129 = 3 × 43
129 no es un numero primo sino un numero compuesto.


» Calculadora online. Comprobar si un número es primo o no. La descomposición en factores primos (descomposición factorial) de números compuestos

* Los números naturales que son divisibles solo por 1 y por ellos mismos se llaman números primos. Un número primo tiene exactamente dos divisores: el 1 y él mismo.
* Un número compuesto es un número natural que tiene al menos un divisor diferente de 1 y él mismo.


Calcular el máximo común divisor:

Multiplica todos los factores primos comunes, tomados por sus exponentes más pequeños.


El máximo común divisor,
mcd (6.537; 129) = 3
Los dos números tienen factores primos comunes.
Desplácese hacia abajo para el segundo método...

Método 2. El algoritmo de Euclides:

Este algoritmo implica el proceso de dividir números y calcular los residuos.


'a' y 'b' son los dos numeros naturales, 'a' >= 'b'.


Divida 'a' por 'b' y obtenga el resto de la operación, 'r'.


Si 'r' = 0, nos detenemos. 'b' = el mcd de 'a' y 'b'.


Si no: Reemplace ('a' por 'b') y ('b' por 'r'). Volver al paso anterior.




Paso 1. Dividir el número mayor por el menor:
6.537 ÷ 129 = 50 + 87
Paso 2. Divide el número más pequeño por el resto de la operación anterior:
129 ÷ 87 = 1 + 42
Paso 3. Divida el resto del paso 1 por el resto del paso 2:
87 ÷ 42 = 2 + 3
Paso 4. Divida el resto del paso 2 por el resto del paso 3:
42 ÷ 3 = 14 + 0
En este paso, el resto es cero, entonces paramos:
3 es el número que buscábamos: el último resto distinto de cero.
Este es el máximo común divisor.


El máximo común divisor:
mcd (6.537; 129) = 3
Los dos números tienen factores primos comunes

¿Por qué necesitamos calcular el máximo común divisor?

Una vez que haya calculado el máximo común divisor del numerador y el denominador de una fracción, se vuelve mucho más fácil reducir (simplificar) la fracción a su mínima expresión (el numerador y el denominador más pequeños posibles).


El máximo común divisor, mcd. Qué es y cómo calcularlo.

  • Nota: La descomposición en factores primos de un número (descomposición factorial) = descomponer el número como un producto (multiplicación) de uno o varios números primos
  • Supongamos que al dividir el número "a" por el número "t", el resto es cero.
  • Cuando observamos la descomposición en factores primos de "a" y "t", encontramos que:
  • 1) todos los factores primos de "t" también son factores primos de "a"
  • y
  • 2) los exponentes de los factores primos de "t" son iguales o menores que los exponentes de los factores primos de "a" (vea la * Nota a continuación)
  • Por ejemplo, el número 12 es un divisor del número 60:
  • 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
  • 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5
  • * Nota: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Decimos que 2 fue elevado a la potencia de 3, o más simple, 2 elevado a 3. En este ejemplo, 3 es el exponente y 2 es la base. El exponente indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma. 23 es la potencia y 8 es el valor de la potencia.
  • Si el número "t" es un divisor común de los números "a" y "b", entonces:
  • 1) "t" tiene solo los factores primos que también intervienen en la descomposición en factores primos de "a" y "b".
  • y
  • 2) cada factor primo de "t" tiene los exponentes más pequeños en comparación con los factores primos de los números "a" y "b".
  • Por ejemplo, el número 12 es el divisor común de los números 48 y 360. A continuación se muestran sus descomposiciones en factores primos:
  • 12 = 22 × 3
  • 48 = 24 × 3
  • 360 = 23 × 32 × 5
  • Puedes ver que el número 12 tiene solo los factores primos que también ocurren en la descomposición en factores primos de los números 48 y 360.
  • Puedes ver arriba que los números 48 y 360 contienen varios divisores comunes: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. De estos, 24 es el máximo común divisor (mcd) de 48 y 360.
  • 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3
  • 48 = 24 × 3
  • 360 = 23 × 32 × 5
  • 24, el máximo común divisor de los números 48 y 360, se calcula como el producto de todos los factores primos comunes de los dos números, tomados por los menores exponentes (potencias).
  • Si dos números "a" y "b" no tienen otro divisor común que 1, mcd (a, b) = 1, entonces los números "a" y "b" se llaman números primos entre sí (coprimos, primos relativos).
  • Si los números "a" y "b" no son primos entre sí, entonces todo divisor común de "a" y "b" es divisor del máximo común divisor de "a" y "b".
  • Veamos un ejemplo de cómo calcular el máximo común divisor, mcd, de los siguientes números:
  • 1.260 = 22 × 32
  • 3.024 = 24 × 32 × 7
  • 5.544 = 23 × 32 × 7 × 11
  • mcd (1.260, 3.024, 5.544) = 22 × 32 = 252
  • Y otro ejemplo:
  • 900 = 22 × 32 × 52
  • 270 = 2 × 33 × 5
  • 210 = 2 × 3 × 5 × 7
  • mcd (900, 270, 210) = 2 × 3 × 5 = 30
  • Y un ejemplo más:
  • 90 = 2 × 32 × 5
  • 27 = 33
  • 22 = 2 × 11
  • mcd (90, 27, 22) = 1 - Los tres números no tienen factores primos en común, son primos entre sí.