Número compuesto 6.426: la descomposición en factores primos (descomposición factorial), escrito como producto de factores primos, con exponentes

La descomposición en factores primos del número compuesto 6.426

6.426 no es un número primo sino un número compuesto.

La descomposición en factores primos del número compuesto 6.426:

~ La descomposición escrita como producto de factores primos:

6.426 = 2 × 3 × 3 × 3 × 7 × 17

~ La descomposición en factores primos escrita como producto de potencias de factores primos (al menos algunos factores primos se escriben con un exponente): *

6.426 = 2 × 33 × 7 × 17

* Un número escrito con exponentes es una base elevada a la potencia (decimos: la base elevada a la potencia del exponente). El exponente indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Decimos que 2 fue elevado a la potencia de 3, o más simple, 2 elevado a 3. En este ejemplo, 3 es el exponente y 2 es la base. 23 es la potencia y 8 es el valor de la potencia..




[1] La descomposición en factores primos de un número (descomposición factorial) = descomponer el número como un producto (multiplicación) de uno o varios números primos.
Ejemplo: 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3.


[2] Número primo: un número natural que es divisible (se divide sin dejar resto) solo por 1 y por sí mismo. Un número primo tiene solo dos divisores: 1 y el número mismo.
Ejemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
El número primo más pequeño es 2 y no 1. El número 1 no se considera un número primo. Solo hay un número primo que es un número par: 2. Todos los demás números primos son números impares.

[3] Número compuesto: un número natural que tiene al menos un divisor diferente de 1 y de sí mismo. Un número compuesto tiene al menos tres divisores. Un número compuesto es también un número que no es un número primo.
Ejemplos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16.
Los números compuestos consisten en números primos que se multiplican entre sí.

Los números 0 y 1 no se consideran números primos ni compuestos.


La descomposición en factores primos (descomposición factorial) de un número, ¿cómo se hace?

Aprendamos con un ejemplo:

Toma el número 220 y construye su descomposición en factores primos


Necesitamos la lista de los primeros números primos, ordenados desde el 2 hasta, digamos, el 20:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Los números primos son los componentes básicos de los números compuestos.


1. Comience dividiendo 220 por el número primo más pequeño, 2:
220 ÷ 2 = 110; el resto = 0 ⇒
220 es divisible por 2 ⇒ 2 es un factor primo de 220:
220 = 2 × 110.

2. Divide el resultado de la operación anterior, 110, nuevamente, por el número 2:
110 ÷ 2 = 55; el resto = 0 ⇒
110 es divisible por 2 ⇒ 2 es un factor primo de 110:
220 = 2 × 110 = 2 × 2 × 55.


3. Divide el resultado de la operación anterior, 55, por el número 2, nuevamente:
55 ÷ 2 = 27 + 1; el resto = 1 ⇒
55 no es divisible por 2.


4. Pasa al siguiente número primo, 3. Divide 55 entre 3:
55 ÷ 3 = 18 + 1; el resto = 1 ⇒
55 no es divisible por 3.


5. Pasa al siguiente número primo, 5. Divide 55 entre 5:
55 ÷ 5 = 11; el resto = 0 ⇒
55 es divisible por 5 ⇒ 5 es un factor primo de 55:
220 = 2 × 2 × 55 = 2 × 2 × 5 × 11.


6. Observa que el factor restante, 11, es un número primo, por lo que ya hemos encontrado todos los factores primos de 220.


Conclusión, la descomposición en factores primos de 220:
220 = 2 × 2 × 5 × 11.
Esto se puede escribir en forma condensada, en notación exponencial:
220 = 22 × 5 × 11.

Comprobar si un número es primo. La descomposición en factores primos de los números compuestos

La descomposición en factores primos de un número (descomposición factorial) = descomponer el número como un producto (multiplicación) de uno o varios números primos

Un número primo es un número natural que es divisible solo por 1 y por sí mismo. El 1 no se considera un número primo.

¿Números primos o compuestos? Los últimos 10 números para los que se ha realizado la descomposición en factores primos

Números primos. Números compuestos. La descomposición en factores primos de números compuestos

  • La descomposición en factores primos de un número (descomposición factorial) = descomponer el número como un producto (multiplicación) de uno o varios números primos.
  • El teorema fundamental de la aritmética dice que todo número entero mayor que 1 se puede escribir como producto de uno o más números primos, de forma única, excepto por el orden de los factores primos.
  • El número 1 no se considera primo, por lo que el número primo más pequeño es 2.
  • Si el número 1 fuera considerado un número primo, entonces la descomposición en factores primos del número 15 podría escribirse como: 15 = 3 × 5 o 15 = 1 × 3 × 5 - estas dos representaciones se considerarían descomposiciones diferentes en factores primos del mismo número, por lo que el teorema anterior ya no habría sido válido.
  • Los números naturales que se dividen sin resto solo por 1 y por sí mismos se llaman números primos.
  • Ejemplos de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 etc.
  • Si un número es primo, no puede descomponerse en otros factores primos, es divisible solo por 1 y por sí mismo; en este caso, 1 y el número en sí se denominan divisores impropios.
  • Un número compuesto es un número natural que tiene al menos un divisor distinto de 1 y el propio número.
  • Un número compuesto es también cualquier número natural mayor que 1 que no sea un número primo.
  • Ejemplos de números compuestos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26 etc.
  • Un número primo no se puede descomponer en otros factores primos, pero un número compuesto sí, como se muestra a continuación:
  • Ejemplo 1: 6 es divisible por 6, 3, 2 y 1, entonces 6 no es un número primo, es un número compuesto. 6 se puede descomponer en un producto de factores de diferentes maneras, como: 6 = 1 × 6, o 6 = 1 × 2 × 3 o 6 = 2 × 3. Pero su descomposición en factores primos, independientemente del orden de los factores, siempre es: 6 = 2 × 3.
  • Ejemplo 2: 120 se puede escribir como producto de factores de diferentes maneras, como 120 = 4 × 30 o 120 = 2 × 2 × 2 × 15 o 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5. Su descomposición en factores primos es siempre: 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5 - la última forma de escritura es la forma condensada, con exponentes, de la primera forma, la más larga.
  • * Nota: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Decimos que 2 fue elevado a la potencia de 3, o más simple, 2 elevado a 3. En este ejemplo, 3 es el exponente y 2 es la base. El exponente indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma. 23 es la potencia y 8 es el valor de la potencia.
  • ¿Por qué es importante aprender sobre la descomposición en factores primos de los números?
  • La descomposición en factores primos es útil cuando se calcula el máximo común divisor, mcd, de números.
  • El MCD es necesario cuando se simplifican (reducen) fracciones a su mínima expresión.
  • La descomposición en factores primos es útil cuando se calcula el mínimo común múltiplo, mcm, de números; esto es necesario cuando se suman o restan fracciones ordinarias, por ejemplo...
  • Y los ejemplos podrían continuar (divisibilidad de números, calcular todos los divisores de un número a partir de su descomposición en factores primos, etc...).
  • Ejemplo de más números primos:
  • 181 es divisible solo por 181 y 1, por lo que 181 es un número primo.
  • 2.341 es divisible solo por 2.341 y 1, entonces 2.341 es un número primo.
  • 6.991 es divisible solo por 6.991 y 1, entonces 6.991 es un número primo.
  • Esta es la lista de todos los números primos, desde el 1 hasta el 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
  • Los números primos se utilizan como bloques básicos al construir la descomposición en factores primos de los números compuestos. Entonces podríamos decir que los números primos son realmente los bloques básicos de los números compuestos.