La divisibilidad de los números naturales:

Método 1: divide los números y comprueba el resto de la operación. Si el resto es cero, entonces los números son divisibles.

Método 2: La descomposición de los números en factores primos (descomposición factorial).

• 1. Divisibilidad:

• Se dice que un número natural es divisible por otro número natural si después de dividir los dos números, el resto de la operación es cero.
• Ejemplo: Dividamos dos números diferentes, 12 y 15, por el número 4.
• Al dividir 12 por 4 el cociente es 3 y el resto de la operación es cero.
• Pero cuando dividimos 15 por 4, el cociente es 3 y la operación deja un residuo de 3.
• Decimos que el número 12 es divisible por 4 pero el 15 no es divisible por 4.
• También decimos que 4 es divisor de 12, pero no divisor de 15.

• Decimos que el número "a" es divisible por "b", si existe un número entero "n", tal que:
• a = n × b.
• El número "b" se llama divisor de "a" ("n" también es divisor de "a").

• 2. Algunas reglas de divisibilidad:

• 0 es divisible por cualquier número que no sea él mismo.
• 1 es divisor de todos los números.
• Divisores impropios Todo número "a", distinto de cero, es divisible al menos por 1 y por sí mismo. En este caso, el número 1 y el propio número, "a", se denominan divisores impropios.
• Números primos: Un número que es divisible solo por 1 y por sí mismo también se llama número primo.
• Números primos entre sí: Si el máximo común divisor de dos números, "m" y "n", el MCD (m; n) = 1, entonces significa que los dos números son primos entre sí (coprimos, primos relativos), en otras palabras, no tienen otro divisor que 1. Si un el número "a" es divisible por estos dos números coprimos, "m" y "n", entonces "a" también es divisible por su producto, (m × n).
  • Ejemplo:
  • El número 84 es divisible por 4 y 3 y también es divisible por 4 × 3 = 12.
  • Esto es cierto porque los dos divisores, 3 y 4, son primos entre sí.

• 3. Cálculo de los divisores:

• Calcular los divisores de un número es muy útil a la hora de simplificar fracciones (reducir fracciones a la mínima expresión).
• Las reglas establecidas para encontrar divisores se basan en que los números se escriben en sistema decimal:
• Los múltiplos de 10 son divisibles por 2 y 5, porque 10 es divisible por 2 y 5.
• Los múltiplos de 100 son divisibles por 4 y 25, porque 100 es divisible por 4 y 25.
• Los múltiplos de 1.000 son divisibles por 8, porque 1.000 es divisible por 8.
• Todas las potencias de 10, cuando se dividen por 3, o por 9, tienen un resto igual a 1.

• Por las reglas de las operaciones con resto, tenemos los siguientes restos al dividir números por 3 o por 9:
• 600 tiene un resto igual a 6 = 1 × 6 (1 por cada 100)
• 240 = 2 × 100 + 4 × 10, entonces el resto será igual a 2 × 1 + 4 × 1 = 6

• Cuando un número se divide por 3 o 9, el resto es igual a lo que obtienes al dividir la suma de los dígitos de ese número por 3 o 9:
• 7.309 tiene la suma de sus dígitos: 7 + 3 + 0 + 9 = 19, que se divide con un resto por cualquier número, 3 o 9. Entonces 7.309 no es divisible ni por 3 ni por 9.

• Todas las potencias pares de 10, como 10² = 100, 10⁴ = 10.000, 10⁶ = 1.000.000, etc., cuando se dividen por 11 tienen un resto igual a 1.
• Todas las potencias impares de 10, como 10¹ = 10, 10³ = 1.000, 10⁵ = 100.000, 10⁷ = 10.000.000, etc., cuando se dividen por 11 tienen un resto igual a 10. En este caso, la suma de sus cifras en posición par, menos la suma de sus cifras en posición impar del número tiene el mismo resto que el propio número cuando se divide por 11.
• Un número es múltiplo de 11 cuando la suma de los números que ocupan la posición par menos la suma de los números que ocupan la posición impar es igual a 0 o a un número múltiplo de 11.
• ¿Cómo se calcula la suma alterna de los dígitos? Se muestra en el siguiente ejemplo.

• Por ejemplo, para el número: 85.976: 6 + 9 + 8 = 23, 7 + 5 = 12, la suma alterna de los dígitos: 23 - 12 = 11. Entonces, el número 85.976 es divisible por el número 11.

• 4. Formas rápidas de determinar si un número es divisible por otro o no:

• 2, si el último dígito es divisible por 2. Si el último dígito de un número es 0, 2, 4, 6 u 8, entonces el número es divisible por 2. Por ejemplo, el número 20: 0 es divisible por 2, entonces 20 debe ser divisible por 2 (y asi es: 20 = 2 × 10).
• 3, si la suma de los dígitos del número es divisible por 3. Por ejemplo, el número 126: la suma de los dígitos es 1 + 2 + 6 = 9, que es divisible por 3. Entonces el número 126 también debe ser divisible por 3 (y así es: 126 = 3 × 42).
• 4, si los dos últimos dígitos del número forman un número divisible por 4. Por ejemplo 124: 24 es divisible por 4 (24 = 4 × 6), entonces 124 también es divisible por 4 (y así es: 124 = 4 × 31).
• 5, si el último dígito es divisible por 5 (el último dígito es 0 o 5). Por ejemplo 100: el último dígito, 0, es divisible por 5, entonces el número 100 debe ser divisible por 5 (y así es: 100 = 5 × 20).
• 6, si el número es divisible tanto por 2 como por 3. Por ejemplo, el número 24 es divisible por 2 (24 = 2 × 12) y también es divisible por 3 (24 = 3 × 8), entonces debe ser divisible por 6. Prueba: 24 = 6 × 4.
• 7, si el último dígito del número (el dígito de la unidad), duplicado, restado del número formado por el resto de los dígitos da un número que es divisible por 7. El proceso se puede repetir hasta se obtiene un número menor. Por ejemplo, ¿el número 294 es divisible por 7? Aplicamos el algoritmo: 29 - (2 × 4) = 29 - 8 = 21. 21 es divisible por 7. 21 = 7 × 3. Pero podríamos haber aplicado el algoritmo nuevamente, esta vez en el número 21: 2 - (2 × 1) = 2 - 2 = 0. El cero es divisible por 7, entonces 21 debe ser divisible por 7 Si 21 es divisible por 7, entonces 294 debe ser divisible por 7.
• 8, si los últimos tres dígitos del número forman un número que es divisible por 8. Por ejemplo, el número 2.120: 120 es divisible por 8 ya que 120 = 8 × 15. Entonces 2.120 también debe ser divisible por 8. Prueba: si dividimos los números, 2.120 = 8 × 265.
• 9, si la suma de los dígitos del número es divisible por 9. Por ejemplo, el número 270 tiene la suma de los dígitos igual a 2 + 7 + 0 = 9, que es divisible por 9. Entonces 270 también debe ser divisible por 9. Prueba: 270 = 9 × 30.
• 10, si el último dígito del número es 0. Ejemplo, 140 es divisible por 10, ya que 140 = 10 × 14.
• 11 la suma de los números que ocupan la posición par menos la suma de los números que ocupan la posición impar es igual a 0 o a un número múltiplo de 11. Por ejemplo, el número 2.915: (5 + 9) - (1 + 2) = 14 - 3 = 11, que es divisible por 11. Entonces el número 2.915 también debe ser divisible por 11: 2.915 = 11 × 265.
• 25, si las dos últimas cifras del número forman un número divisible por 25. Por ejemplo, el número formado por las dos últimas cifras del número 275 es 75, que es divisible por 25, ya que 75 = 25 × 3. Entonces 275 también debe ser divisible por 25: 275 = 25 × 11.

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