¿Los dos números 21 y 5.315 son primos entre sí (coprimos, primos relativos)? Comprueba si su máximo común divisor, mcd, es igual a 1
¿Son los números 21 y 5.315 primos entre sí (coprimos, primos relativos)?
21 y 5.315 son primos entre sí (coprimos)... si:
Si no hay otro número que no sea 1 que divida a ambos números sin resto.
O, en otras palabras, si su máximo común divisor, mcd, es 1.
Calcular el máximo común divisor, mcd, de los números
Método 1. La descomposición en factores primos:
La descomposición en factores primos de un número (descomposición factorial) = descomponer el número como un producto (multiplicación) de uno o varios números primos.
21 = 3 × 7
21 no es un numero primo sino un numero compuesto.
5.315 = 5 × 1.063
5.315 no es un numero primo sino un numero compuesto.
Los números naturales que solo son divisibles por 1 y por ellos mismos se llaman números primos. Un número primo tiene exactamente dos divisores: el 1 y él mismo.
Un número compuesto es un número natural que tiene al menos un divisor diferente de 1 y él mismo.
Calcular el máximo común divisor, mcd:
Multiplica todos los factores primos comunes de los dos números, tomados por sus exponentes más pequeños.
Pero los números no tienen factores primos comunes.
mcd (21; 5.315) = 1
Números primos entre sí (coprimos, primos relativos)
Números primos entre sí (coprimos, primos relativos) (21; 5.315)? Sí.
Los números no tienen factores primos comunes.
mcd (21; 5.315) = 1
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Método 2. El algoritmo de Euclides:
Este algoritmo implica el proceso de dividir números y calcular los residuos.
'a' y 'b' son los dos numeros naturales, 'a' >= 'b'.
Divida 'a' por 'b' y obtenga el resto de la operación, 'r'.
Si 'r' = 0, nos detenemos. 'b' = el mcd de 'a' y 'b'.
Si no: Reemplace ('a' por 'b') y ('b' por 'r'). Volver al paso anterior.
Paso 1. Dividir el número mayor por el menor:
5.315 ÷ 21 = 253 + 2
Paso 2. Divide el número más pequeño por el resto de la operación anterior:
21 ÷ 2 = 10 + 1
Paso 3. Divida el resto del paso 1 por el resto del paso 2:
2 ÷ 1 = 2 + 0
En este paso, el resto es cero, entonces paramos:
1 es el número que buscábamos: el último resto distinto de cero.
Este es el máximo común divisor.
mcd (21; 5.315) = 1
Números primos entre sí (coprimos, primos relativos) (21; 5.315)? Sí.
mcd (21; 5.315) = 1
Otras operaciones similares con números primos entre sí:
Los últimos 5 pares de números que se han comprobado si son primos entre sí (coprimos, primos relativos) o no
¿Son los dos números primos entre sí (coprimos, primos relativos)?
Dos números naturales son primos entre sí (coprimos, primos relativos) - si no hay ningún número que divida exactamente a ambos números (= sin resto), es decir, si su máximo común divisor, mcd es 1.
Dos números naturales no son primos entre sí, si hay al menos un número que divide exactamente a los dos números (sin resto), es decir, si su máximo común divisor, mcd, no es 1.
Números primos entre sí (también llamados: números coprimos, primos relativos)
- Se dice que el número "a" y "b" son primos entre sí, coprimos o primos relativos si el único número entero positivo que divide a ambos sin resto es 1.
- Los números que son primos entre sí son pares de (al menos dos) números que no tienen otro divisor común que 1.
- Cuando el único divisor común de algunos números es 1, entonces esto también es equivalente a que su máximo común divisor sea 1.
- Ejemplos de pares de números coprimos:
- Los números que son primos entre sí no son necesariamente números primos en sí mismos, por ejemplo, 4 y 9: estos dos números no son primos, son números compuestos, ya que 4 = 2 × 2 = 22 y 9 = 3 × 3 = 32. Pero el mcd (4, 9) = 1, por lo que son primos entre sí.
- A veces, los números primos entre sí también son números primos, por ejemplo (3 y 5), o (7 y 11), (13 y 23).
- Otras veces, los números que son primos entre sí pueden o no ser números primos, por ejemplo (5 y 6), (7 y 12), (15 y 23).
- Ejemplos de pares de números que no son primos entre sí:
- 16 y 24 no son primos entre sí, ya que ambos son divisibles por 1, 2, 4 y 8 (1, 2, 4 y 8 son sus divisores comunes).
- 6 y 10 no son primos entre sí, ya que ambos son divisibles por 1 y 2.
- Algunas propiedades de los números que son primos entre sí:
- El máximo común divisor de dos números primos entre sí es siempre 1.
- El mínimo común múltiplo, mcm, de dos números primos entre sí es siempre su producto: mcm (a, b) = a × b.
- Los números 1 y -1 son los únicos números enteros que son primos de cualquier otro número entero, por ejemplo (1 y 2), (1 y 3), (1 y 4), (1 y 5), (1 y 6), y así sucesivamente, son todos los pares de números primos entre sí ya que su máximo común divisor es 1.
- Los números 1 y -1 son los únicos números enteros coprimos con 0.
- Dos números primos cualesquiera son siempre coprimos, por ejemplo (2 y 3), (3 y 5), (5 y 7) y así sucesivamente.
- Dos números consecutivos cualesquiera son primos entre sí, por ejemplo (1 y 2), (2 y 3), (3 y 4), (4 y 5), (5 y 6), (6 y 7), (7 y 8), (8 y 9), (9 y 10), y así sucesivamente.
- La suma de dos números coprimos, a + b, es siempre primo a su producto, a × b. Por ejemplo, 7 y 10 son números coprimos, 7 + 10 = 17 es un número que es primo relativo a 7 × 10 = 70. Otro ejemplo, 9 y 11 son coprimos, y su suma, 9 + 11 = 20 es coprimos con su producto, 9 × 11 = 99.
- Una forma rápida de determinar si dos números son primos entre sí está dada por el Algoritmo de Euclides: El Algoritmo de Euclides
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