MCD de 1.234.567.875 y 1.234.567.876, el máximo común divisor. Calculadora

Calculadora del MCD de 1.234.567.875 y 1.234.567.876, el máximo común divisor, utilizando la descomposición en factores primos, la divisibilidad de los números o el algoritmo de Euclides

El máximo común divisor y cómo se calcula

Primeros pasos y ejemplos

  • 1. Factores de un número:
    • Los factores de un número son los números que se multiplican entre sí para obtener dicho número.
    • Ejemplos: 2 × 3 × 4 = 24; 4 × 9 = 36.
    • En estos casos decimos que 2, 3 y 4 son factores de 24. Y 4 y 9 son factores de 36.
  • 2. Factores comunes de varios números:
    • Los factores que son comunes a varios números se denominan factores comunes.
    • En nuestros ejemplos, 4 es un factor de 24 y 36.
  • 3. El máximo común divisor, MCD, de varios números
    • El máximo común divisor, MCD, es el mayor de todos los factores comunes de esos varios números.
  • 4. ¿Cómo se calcula el máximo común divisor, MCD? Paso 1.
    • En nuestros ejemplos, podríamos sentirnos tentados a decir que 4 es el máximo común divisor de 24 y 36. Pero, espere. Intentemos descomponer esos factores en otros que sean lo más pequeños posible.
    • 24 se podría escribir como: 24 = 2 × 2 × 2 × 3.
    • 36 también se podría escribir como: 36 = 2 × 2 × 3 × 3.
    • En nuestro ejemplo, 2 y 3 no se pueden descomponer en otros números más pequeños.
  • 5. Números primos:
    • El 2 y el 3 no se pueden descomponer en otros números más pequeños porque son números primos. Esta es la definición misma de los números primos:
    • Un número primo no tiene otros factores que el 1 y él mismo, ya que no se puede descomponer en otros números más pequeños.
    • Ejemplos de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, etc., esta es una lista infinita.
  • 6. ¿Cómo se calcula el máximo común divisor, MCD? Paso 2.
    • Hemos visto que es una buena idea descomponer los números en factores lo más pequeños posibles, escribiéndolos como un producto de factores primos. Esta es la definición de descomponer un número en factores primos.
    • La descomposición en factores primos de 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3.
    • La descomposición en factores primos de 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 22 × 32.
    • Para calcular el MCD, simplemente escoge todos los factores primos comunes de ambos números y multiplícalos:
    • MCD (24 y 36) = 2 × 2 × 3 = 22 × 3 = 12.

Calcular el máximo común divisor
mcd (1.234.567.875; 1.234.567.876) = ?

Método 1. La descomposición en factores primos:

La descomposición en factores primos de un número (descomposición factorial) = descomponer el número como un producto (multiplicación) de uno o varios números primos.


1.234.567.875 = 3 × 53 × 227 × 14.503
1.234.567.875 no es un numero primo sino un numero compuesto.

1.234.567.876 = 22 × 8.689 × 35.521
1.234.567.876 no es un numero primo sino un numero compuesto.



Calcular el máximo común divisor:

Multiplica todos los factores primos comunes, tomados por sus exponentes más pequeños.

Pero los dos números no tienen factores primos comunes.


El máximo común divisor,
mcd (1.234.567.875; 1.234.567.876) = 1
Números primos entre sí (coprimos, primos relativos).
Desplácese hacia abajo para el segundo método...

Método 2. El algoritmo de Euclides:

  • Este algoritmo implica el proceso de dividir números y calcular los residuos.
  • 'a' y 'b' son los dos numeros naturales, 'a' >= 'b'.
  • Divida 'a' por 'b' y obtenga el resto de la operación, 'r'.
  • Si 'r' = 0, nos detenemos. 'b' = el mcd de 'a' y 'b'.
  • Si no: Reemplace ('a' por 'b') y ('b' por 'r'). Volver al paso anterior.

  • » El algoritmo de Euclides



Paso 1. Dividir el número mayor por el menor:
1.234.567.876 ÷ 1.234.567.875 = 1 + 1
Paso 2. Divide el número más pequeño por el resto de la operación anterior:
1.234.567.875 ÷ 1 = 1.234.567.875 + 0
En este paso, el resto es cero, entonces paramos:
1 es el número que buscábamos: el último resto distinto de cero.
Este es el máximo común divisor.


El máximo común divisor:
mcd (1.234.567.875; 1.234.567.876) = 1
Números primos entre sí (coprimos, primos relativos).
Los dos números no tienen factores primos en común


¿Por qué necesitamos calcular el máximo común divisor?


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El máximo común divisor, mcd. Qué es y cómo calcularlo.

  • Nota: La descomposición en factores primos de un número (descomposición factorial) = descomponer el número como un producto (multiplicación) de uno o varios números primos
  • Supongamos que al dividir el número "a" por el número "t", el resto es cero.
  • Cuando observamos la descomposición en factores primos de "a" y "t", encontramos que:
  • 1) todos los factores primos de "t" también son factores primos de "a"
  • y
  • 2) los exponentes de los factores primos de "t" son iguales o menores que los exponentes de los factores primos de "a" (vea la * Nota a continuación)
  • Por ejemplo, el número 12 es un divisor del número 60:
  • 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
  • 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5
  • * Nota: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Decimos que 2 fue elevado a la potencia de 3, o más simple, 2 elevado a 3. En este ejemplo, 3 es el exponente y 2 es la base. El exponente indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma. 23 es la potencia y 8 es el valor de la potencia.
  • Si el número "t" es un divisor común de los números "a" y "b", entonces:
  • 1) "t" tiene solo los factores primos que también intervienen en la descomposición en factores primos de "a" y "b".
  • y
  • 2) cada factor primo de "t" tiene los exponentes más pequeños en comparación con los factores primos de los números "a" y "b".
  • Por ejemplo, el número 12 es el divisor común de los números 48 y 360. A continuación se muestran sus descomposiciones en factores primos:
  • 12 = 22 × 3
  • 48 = 24 × 3
  • 360 = 23 × 32 × 5
  • Puedes ver que el número 12 tiene solo los factores primos que también ocurren en la descomposición en factores primos de los números 48 y 360.
  • Puedes ver arriba que los números 48 y 360 contienen varios divisores comunes: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. De estos, 24 es el máximo común divisor (mcd) de 48 y 360.
  • 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3
  • 48 = 24 × 3
  • 360 = 23 × 32 × 5
  • 24, el máximo común divisor de los números 48 y 360, se calcula como el producto de todos los factores primos comunes de los dos números, tomados por los menores exponentes (potencias).
  • Si dos números "a" y "b" no tienen otro divisor común que 1, mcd (a, b) = 1, entonces los números "a" y "b" se llaman números primos entre sí (coprimos, primos relativos).
  • Si los números "a" y "b" no son primos entre sí, entonces todo divisor común de "a" y "b" es divisor del máximo común divisor de "a" y "b".
  • Veamos un ejemplo de cómo calcular el máximo común divisor, mcd, de los siguientes números:
  • 1.260 = 22 × 32
  • 3.024 = 24 × 32 × 7
  • 5.544 = 23 × 32 × 7 × 11
  • mcd (1.260, 3.024, 5.544) = 22 × 32 = 252
  • Y otro ejemplo:
  • 900 = 22 × 32 × 52
  • 270 = 2 × 33 × 5
  • 210 = 2 × 3 × 5 × 7
  • mcd (900, 270, 210) = 2 × 3 × 5 = 30
  • Y un ejemplo más:
  • 90 = 2 × 32 × 5
  • 27 = 33
  • 22 = 2 × 11
  • mcd (90, 27, 22) = 1 - Los tres números no tienen factores primos en común, son primos entre sí.