Las últimas 3 fracciones que han sido simplificadas, reducidas a la mínima expresión (a la forma equivalente más simple, irreducible, con numerador y denominador más pequeño, primos entre sí)
1. Números primos. 2. El teorema fundamental de la aritmética. 3. Números compuestos. 4. Observaciones
1. Números primos
Un número primo es un número natural, mayor que 1, que se divide sin resto solo por 1 y por sí mismo.
Cualquier número primo "m" tiene solo dos divisores: el número en sí, "m", y el número 1.
Ejemplos de números primos:
1 no se considera un número primo, por lo que el número primo más pequeño es 2 (la lista de números primos comienza con el número 2).
2 es divisible solo por 2 y 1, por lo que 2 es un número primo.
3 es divisible solo por 3 y 1, por lo que 3 es un número primo.
5 es divisible solo por 5 y 1, por lo que 5 es un número primo.
13 es divisible solo por 13 y 1, por lo que 13 es un número primo.
2. El teorema fundamental de la aritmética
El teorema fundamental de la aritmética dice que todo número entero mayor que 1 se puede escribir como producto de uno o más números primos, de forma única, excepto por el orden de los factores primos.
¿Por qué el 1 no se considera un número primo? Si el 1 se considerara un número primo, entonces la descomposición en factores primos del número 15, por ejemplo, podría ser: 15 = 3 × 5 o 15 = 1 × 3 × 5. Estas dos representaciones se habrían considerado dos descomposiciones diferentes en factores primos del mismo número, 15, por lo que el enunciado del teorema fundamental ya no sería verdadero.
3. Números compuestos
Un número compuesto es un número natural que tiene al menos un divisor positivo distinto de 1 y el propio número.
Un número compuesto es también cualquier número mayor que 1 que no sea un número primo.
La descomposición en factores primos de un número (descomposición factorial) = descomponer el número como un producto (multiplicación) de uno o varios números primos.
Ejemplos de números compuestos:
4 es divisible por 4, 2 y 1, por lo que 4 no es un número primo, es un número compuesto. La descomposición en factores primos de 4 = 2 × 2 = 22
Primera nota: la última forma de escritura es la forma condensada, con exponentes, de la primera forma, la más larga.
Segunda nota: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Decimos que 2 fue elevado a la potencia de 3, o más simple, 2 elevado a 3. En este ejemplo, 3 es el exponente y 2 es la base. El exponente indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma. 23 es la potencia y 8 es el valor de la potencia.
6 es divisible por 6, 3, 2 y 1, por lo que 6 no es un número primo, es un número compuesto. La descomposición en factores primos de 6 = 2 × 3
8 es divisible por 8, 4, 2 y 1, por lo que 8 no es un número primo, es un número compuesto. La descomposición en factores primos es 8 = 23
9 es divisible por 9, 3 y 1, por lo que 9 no es un número primo, es un número compuesto. Su descomposición en factores primos: 9 = 32
4. Observaciones sobre los números primos
La lista de los primeros números primos, hasta el 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Los números primos son los componentes básicos de todos los números, teniendo en cuenta que todo número se puede escribir como producto de uno o más números primos. Todo número compuesto se puede escribir como producto de al menos dos números primos.
Euclides (300 a.C.) demostró que así como el conjunto de los números naturales o enteros es infinito, también el conjunto de los números primos es infinito, sin ningún número primo mayor.
No existe una fórmula simple conocida que separe todos los números primos de los compuestos.