- Una fracción simplificada, reducida a su mínima expresión es una fracción que ya no se puede simplificar, ha sido reducida a su fracción equivalente más simple, la que tiene el numerador y el denominador más pequeños posibles, primos entre sí.
- 1. Realiza la descomposición en factores primos tanto del numerador como del denominador de la fracción. Cómo descomponer en factores primos aquí: ⇒ descomponer números en factores primos
- 2. Calcula el máximo común divisor, mcd, del numerador y denominador de la fracción. Calcula mcd, aquí: ⇒ calcular el máximo común divisor, mcd, de números
- 3. Divide tanto el numerador como el denominador de la fracción por su máximo común divisor, mcd.
- La fracción así obtenida se denomina fracción simplificada, reducida a su mínima expresión, la fracción equivalente más simple, irreductible (la que tiene el numerador y el denominador más pequeños posibles, primos entre sí). El mcd del numerador y el denominador de una fracción irreducible es igual a 1.
Ejemplo 1: simplificar (reducir) la fracción propia 24/32 a su mínima expresión.
- Una fracción propia: una fracción en la que el denominador es mayor que el numerador. Ejemplo: 1/3, 2/6, 24/32
- Una fracción impropia: una fracción en la que el denominador es menor que el numerador. Ejemplo: 3/2, 7/2, 36/34
- Una fracción igual a la unidad: una fracción que representa números iguales a la unidad; este tipo de fracción tiene el mismo numerador y denominador. Ejemplo: 3/3, 7/7, 1/1
1) Realiza la descomposición en factores primos tanto del numerador como del denominador de la fracción.
- El numerador de la fracción, 24, su descomposición en factores primos es:
24 = 23 × 3. - Denominador de la fracción, 32, su descomposición en factores primos es: 32 = 25.
2) Calcula el máximo común divisor, mcd, del numerador y denominador de la fracción.
- El máximo común divisor, mcd (24; 32), se calcula multiplicando todos los factores comunes tanto del numerador como del denominador, tomados por sus menores exponentes:
- mcd (24; 32) = (23 × 3; 25) = 23 = 8.
3) Divide tanto el numerador como el denominador de la fracción por su máximo común divisor, mcd.
- Tanto el numerador como el denominador de la fracción se dividen por su máximo común divisor, mcd:
- 24/32 =
(24 ÷ 8)/(32 ÷ 8) =
(23 × 3 ÷ 23)/(25 ÷ 23) =
3/4 - La fracción así obtenida se denomina fracción simplificada, reducida a su mínima expresión; en este caso, también es una fracción irreducible (ya no se puede reducir, tiene el numerador y el denominador más pequeños posibles).
Ejemplo 2: simplificar (reducir) la fracción propia 130/455 a su mínima expresión.
1) Realiza la descomposición en factores primos tanto del numerador como del denominador de la fracción.
- El numerador de la fracción, 130, su descomposición en factores primos es:
130 = 2 × 5 × 13. - Denominador de la fracción, 455, su descomposición en factores primos es:
455 = 5 × 7 × 13. 2) Calcula el máximo común divisor, mcd, del numerador y denominador de la fracción.
- El máximo común divisor, mcd (130; 455), se calcula multiplicando todos los factores comunes tanto del numerador como del denominador, tomados por sus menores exponentes:
- mcd (130; 455) = (2 × 5 × 13; 5 × 7 × 13) = 5 × 13 = 65.
3) Divide tanto el numerador como el denominador de la fracción por su máximo común divisor, mcd.
- Tanto el numerador como el denominador de la fracción se dividen por su máximo común divisor, mcd:
- 130/455 =
(2 × 5 × 13)/(5 × 7 × 13) =
((2 × 5 × 13) ÷ (5 × 13)) / ((5 × 7 × 13) ÷ (5 × 13)) =
2/7 - La fracción así obtenida se denomina fracción simplificada, reducida a su mínima expresión; en este caso, también es una fracción irreducible (ya no se puede reducir, tiene el numerador y el denominador más pequeños posibles).
Ejemplo 3: simplificar (reducir) la fracción propia 315/1.155 a su mínima expresión.
1) Realiza la descomposición en factores primos tanto del numerador como del denominador de la fracción.
- El numerador de la fracción es 315, su descomposición en factores primos es:
315 = 3 × 3 × 5 × 7 = 32 × 5 × 7 - Denominador de la fracción es 1.155, su descomposición en factores primos es:
1.155 = 3 × 5 × 7 × 11. 2) Calcula el máximo común divisor, mcd, del numerador y denominador de la fracción.
- El máximo común divisor, mcd (315; 1.155), se calcula multiplicando todos los factores comunes tanto del numerador como del denominador, tomados por sus menores exponentes:
- mcd (315; 1.155) = (32 × 5 × 7; 3 × 5 × 7 × 11) = 3 × 5 × 7 = 105
3) Divide tanto el numerador como el denominador de la fracción por su máximo común divisor, mcd.
- Tanto el numerador como el denominador de la fracción se dividen por su máximo común divisor, mcd:
- 315/1.155 =
(32 × 5 × 7)/(3 × 5 × 7 × 11) =
((32 × 5 × 7) ÷ (3 × 5 × 7)) / ((3 × 5 × 7 × 11) ÷ (3 × 5 × 7)) =
3/11 - La fracción así obtenida se denomina fracción simplificada, reducida a su mínima expresión; en este caso, también es una fracción irreducible (ya no se puede reducir, tiene el numerador y el denominador más pequeños posibles).
Ejemplo 4: simplificar (reducir) la fracción impropia 455/130 a su mínima expresión.
1) Realiza la descomposición en factores primos tanto del numerador como del denominador de la fracción.
- El numerador de la fracción, 455, su descomposición en factores primos es:
455 = 5 × 7 × 13 - Denominador de la fracción, 130, su descomposición en factores primos es:
130 = 2 × 5 × 13 2) Calcula el máximo común divisor, mcd, del numerador y denominador de la fracción.
- El máximo común divisor, mcd (455; 130), se calcula multiplicando todos los factores comunes tanto del numerador como del denominador, tomados por sus menores exponentes:
- mcd (455; 130) = (5 × 7 × 13; 2 × 5 × 13) = 5 × 13 = 65
3) Divide tanto el numerador como el denominador de la fracción por su máximo común divisor, mcd.
- Tanto el numerador como el denominador de la fracción se dividen por su máximo común divisor, mcd:
- 455/130 =
(5 × 7 × 13)/(2 × 5 × 13) =
((5 × 7 × 13) ÷ (5 × 13)) / ((2 × 5 × 13) ÷ (5 × 13)) =
7/2 - La fracción así obtenida se denomina fracción simplificada, reducida a su mínima expresión; en este caso, también es una fracción irreducible (ya no se puede reducir, tiene el numerador y el denominador más pequeños posibles).
- Pero hay más: cualquier fracción impropia se puede escribir como la suma de un número entero y una fracción propia.
- En nuestro caso:
- 7/2 =
(2 × 3 + 1)/2 =
(2 × 3)/2 + 1/2 =
3/1 + 1/2 =
3 + 1/2 =
3 1/2 - 3 1/2 se llama numero mixto o fraccion mixta.
¿Por qué reducir (simplificar) fracciones a la mínima expresión?
- A la hora de realizar operaciones con fracciones muchas veces nos vemos obligados a ponerlas con el mismo denominador, por ejemplo al sumar, restar o comparar.
- A veces, tanto los numeradores como los denominadores de esas fracciones son números grandes y puede ser difícil hacer cálculos con esos números.
- Al simplificar (reducir) una fracción, tanto el numerador como el denominador de una fracción se reducen a valores más pequeños, mucho más fáciles de trabajar, reduciendo así el esfuerzo general.