Cómo simplificar fracciones, cómo reducir fracciones a la mínima expresión (a la forma equivalente más simple, irreductible, con el numerador y el denominador más pequeños posibles, primos entre sí): pasos a seguir y ejemplos

  • Una fracción simplificada, reducida a su mínima expresión es una fracción que ya no se puede simplificar, ha sido reducida a su fracción equivalente más simple, la que tiene el numerador y el denominador más pequeños posibles, primos entre sí.
  • 1. Realiza la descomposición en factores primos tanto del numerador como del denominador de la fracción. Cómo descomponer en factores primos aquí: ⇒ descomponer números en factores primos
  • 2. Calcula el máximo común divisor, mcd, del numerador y denominador de la fracción. Calcula mcd, aquí: ⇒ calcular el máximo común divisor, mcd, de números
  • 3. Divide tanto el numerador como el denominador de la fracción por su máximo común divisor, mcd.
  • La fracción así obtenida se denomina fracción simplificada, reducida a su mínima expresión, la fracción equivalente más simple, irreductible (la que tiene el numerador y el denominador más pequeños posibles, primos entre sí). El mcd del numerador y el denominador de una fracción irreducible es igual a 1.

Ejemplo 1: simplificar (reducir) la fracción propia 24/32 a su mínima expresión.

  • Una fracción propia: una fracción en la que el denominador es mayor que el numerador. Ejemplo: 1/3, 2/6, 24/32
  • Una fracción impropia: una fracción en la que el denominador es menor que el numerador. Ejemplo: 3/2, 7/2, 36/34
  • Una fracción igual a la unidad: una fracción que representa números iguales a la unidad; este tipo de fracción tiene el mismo numerador y denominador. Ejemplo: 3/3, 7/7, 1/1
  • 1) Realiza la descomposición en factores primos tanto del numerador como del denominador de la fracción.

  • El numerador de la fracción, 24, su descomposición en factores primos es:
    24 = 23 × 3.
  • Denominador de la fracción, 32, su descomposición en factores primos es: 32 = 25.
  • 2) Calcula el máximo común divisor, mcd, del numerador y denominador de la fracción.

  • El máximo común divisor, mcd (24; 32), se calcula multiplicando todos los factores comunes tanto del numerador como del denominador, tomados por sus menores exponentes:
  • mcd (24; 32) = (23 × 3; 25) = 23 = 8.
  • 3) Divide tanto el numerador como el denominador de la fracción por su máximo común divisor, mcd.

  • Tanto el numerador como el denominador de la fracción se dividen por su máximo común divisor, mcd:
  • 24/32 =
    (24 ÷ 8)/(32 ÷ 8) =
    (23 × 3 ÷ 23)/(25 ÷ 23) =
    3/4
  • La fracción así obtenida se denomina fracción simplificada, reducida a su mínima expresión; en este caso, también es una fracción irreducible (ya no se puede reducir, tiene el numerador y el denominador más pequeños posibles).

Ejemplo 2: simplificar (reducir) la fracción propia 130/455 a su mínima expresión.

  • 1) Realiza la descomposición en factores primos tanto del numerador como del denominador de la fracción.

  • El numerador de la fracción, 130, su descomposición en factores primos es:
    130 = 2 × 5 × 13.
  • Denominador de la fracción, 455, su descomposición en factores primos es:
    455 = 5 × 7 × 13.
  • 2) Calcula el máximo común divisor, mcd, del numerador y denominador de la fracción.

  • El máximo común divisor, mcd (130; 455), se calcula multiplicando todos los factores comunes tanto del numerador como del denominador, tomados por sus menores exponentes:
  • mcd (130; 455) = (2 × 5 × 13; 5 × 7 × 13) = 5 × 13 = 65.
  • 3) Divide tanto el numerador como el denominador de la fracción por su máximo común divisor, mcd.

  • Tanto el numerador como el denominador de la fracción se dividen por su máximo común divisor, mcd:
  • 130/455 =
    (2 × 5 × 13)/(5 × 7 × 13) =
    ((2 × 5 × 13) ÷ (5 × 13)) / ((5 × 7 × 13) ÷ (5 × 13)) =
    2/7
  • La fracción así obtenida se denomina fracción simplificada, reducida a su mínima expresión; en este caso, también es una fracción irreducible (ya no se puede reducir, tiene el numerador y el denominador más pequeños posibles).

Ejemplo 3: simplificar (reducir) la fracción propia 315/1.155 a su mínima expresión.

  • 1) Realiza la descomposición en factores primos tanto del numerador como del denominador de la fracción.

  • El numerador de la fracción es 315, su descomposición en factores primos es:
    315 = 3 × 3 × 5 × 7 = 32 × 5 × 7
  • Denominador de la fracción es 1.155, su descomposición en factores primos es:
    1.155 = 3 × 5 × 7 × 11.
  • 2) Calcula el máximo común divisor, mcd, del numerador y denominador de la fracción.

  • El máximo común divisor, mcd (315; 1.155), se calcula multiplicando todos los factores comunes tanto del numerador como del denominador, tomados por sus menores exponentes:
  • mcd (315; 1.155) = (32 × 5 × 7; 3 × 5 × 7 × 11) = 3 × 5 × 7 = 105
  • 3) Divide tanto el numerador como el denominador de la fracción por su máximo común divisor, mcd.

  • Tanto el numerador como el denominador de la fracción se dividen por su máximo común divisor, mcd:
  • 315/1.155 =
    (32 × 5 × 7)/(3 × 5 × 7 × 11) =
    ((32 × 5 × 7) ÷ (3 × 5 × 7)) / ((3 × 5 × 7 × 11) ÷ (3 × 5 × 7)) =
    3/11
  • La fracción así obtenida se denomina fracción simplificada, reducida a su mínima expresión; en este caso, también es una fracción irreducible (ya no se puede reducir, tiene el numerador y el denominador más pequeños posibles).

Ejemplo 4: simplificar (reducir) la fracción impropia 455/130 a su mínima expresión.

  • 1) Realiza la descomposición en factores primos tanto del numerador como del denominador de la fracción.

  • El numerador de la fracción, 455, su descomposición en factores primos es:
    455 = 5 × 7 × 13
  • Denominador de la fracción, 130, su descomposición en factores primos es:
    130 = 2 × 5 × 13
  • 2) Calcula el máximo común divisor, mcd, del numerador y denominador de la fracción.

  • El máximo común divisor, mcd (455; 130), se calcula multiplicando todos los factores comunes tanto del numerador como del denominador, tomados por sus menores exponentes:
  • mcd (455; 130) = (5 × 7 × 13; 2 × 5 × 13) = 5 × 13 = 65
  • 3) Divide tanto el numerador como el denominador de la fracción por su máximo común divisor, mcd.

  • Tanto el numerador como el denominador de la fracción se dividen por su máximo común divisor, mcd:
  • 455/130 =
    (5 × 7 × 13)/(2 × 5 × 13) =
    ((5 × 7 × 13) ÷ (5 × 13)) / ((2 × 5 × 13) ÷ (5 × 13)) =
    7/2
  • La fracción así obtenida se denomina fracción simplificada, reducida a su mínima expresión; en este caso, también es una fracción irreducible (ya no se puede reducir, tiene el numerador y el denominador más pequeños posibles).
  • Pero hay más: cualquier fracción impropia se puede escribir como la suma de un número entero y una fracción propia.
  • En nuestro caso:
  • 7/2 =
    (2 × 3 + 1)/2 =
    (2 × 3)/2 + 1/2 =
    3/1 + 1/2 =
    3 + 1/2 =
    3 1/2
  • 3 1/2 se llama numero mixto o fraccion mixta.

¿Por qué reducir (simplificar) fracciones a la mínima expresión?

  • A la hora de realizar operaciones con fracciones muchas veces nos vemos obligados a ponerlas con el mismo denominador, por ejemplo al sumar, restar o comparar.
  • A veces, tanto los numeradores como los denominadores de esas fracciones son números grandes y puede ser difícil hacer cálculos con esos números.
  • Al simplificar (reducir) una fracción, tanto el numerador como el denominador de una fracción se reducen a valores más pequeños, mucho más fáciles de trabajar, reduciendo así el esfuerzo general.