Calcula el máximo común divisor de números, mcd:

Método 1: Ejecute la descomposición en factores primos (descomposición factorial) de los números, luego multiplique todos los factores primos comunes, tomados por sus exponentes más pequeños. Si no hay factores primos comunes, mcd es igual a 1.

Método 2: El algoritmo de Euclides.

Método 3: La divisibilidad de los números.

• Nota: La descomposición en factores primos de un número (descomposición factorial) = descomponer el número como un producto (multiplicación) de uno o varios números primos
• Supongamos que al dividir el número "a" por el número "t", el resto es cero.
• Cuando observamos la descomposición en factores primos de "a" y "t", encontramos que:
• 1) todos los factores primos de "t" también son factores primos de "a"
• y
• 2) los exponentes de los factores primos de "t" son iguales o menores que los exponentes de los factores primos de "a" (vea la * Nota a continuación)

• Por ejemplo, el número 12 es un divisor del número 60:
• 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
• 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
• * Nota: 2³ = 2 × 2 × 2 = 8. Decimos que 2 fue elevado a la potencia de 3, o más simple, 2 elevado a 3. En este ejemplo, 3 es el exponente y 2 es la base. El exponente indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma. 2³ es la potencia y 8 es el valor de la potencia.

• Si el número "t" es un divisor común de los números "a" y "b", entonces:
• 1) "t" tiene solo los factores primos que también intervienen en la descomposición en factores primos de "a" y "b".
• y
• 2) cada factor primo de "t" tiene los exponentes más pequeños en comparación con los factores primos de los números "a" y "b".

• Por ejemplo, el número 12 es el divisor común de los números 48 y 360. A continuación se muestran sus descomposiciones en factores primos:
• 12 = 2² × 3
• 48 = 2⁴ × 3
• 360 = 2³ × 3² × 5
• Puedes ver que el número 12 tiene solo los factores primos que también ocurren en la descomposición en factores primos de los números 48 y 360.
• Puedes ver arriba que los números 48 y 360 contienen varios divisores comunes: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. De estos, 24 es el máximo común divisor (mcd) de 48 y 360.
• 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3
• 48 = 2⁴ × 3
• 360 = 2³ × 3² × 5
• 24, el máximo común divisor de los números 48 y 360, se calcula como el producto de todos los factores primos comunes de los dos números, tomados por los menores exponentes (potencias).

• Si dos números "a" y "b" no tienen otro divisor común que 1, mcd (a, b) = 1, entonces los números "a" y "b" se llaman números primos entre sí (coprimos, primos relativos).
• Si los números "a" y "b" no son primos entre sí, entonces todo divisor común de "a" y "b" es divisor del máximo común divisor de "a" y "b".

• Veamos un ejemplo de cómo calcular el máximo común divisor, mcd, de los siguientes números:
• 1.260 = 2² × 3²
• 3.024 = 2⁴ × 3² × 7
• 5.544 = 2³ × 3² × 7 × 11
• mcd (1.260, 3.024, 5.544) = 2² × 3² = 252

• Y otro ejemplo:
• 900 = 2² × 3² × 5²
• 270 = 2 × 3³ × 5
• 210 = 2 × 3 × 5 × 7
• mcd (900, 270, 210) = 2 × 3 × 5 = 30

• Y un ejemplo más:
• 90 = 2 × 3² × 5
• 27 = 3³
• 22 = 2 × 11
• mcd (90, 27, 22) = 1 - Los tres números no tienen factores primos en común, son primos entre sí.

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