Calcular mcd, el máximo común divisor de los números (143; 161). Calculadora en línea
Calcular el máximo común divisor, mcd (143; 161), utilizando la descomposición en factores primos, la divisibilidad de los números o el algoritmo de Euclides
El máximo común divisor y cómo se calcula
Primeros pasos y ejemplos
- 1. Factores de un número:
- Los factores de un número son los números que se multiplican entre sí para obtener dicho número.
- Ejemplos: 2 × 3 × 4 = 24; 4 × 9 = 36.
- En estos casos decimos que 2, 3 y 4 son factores de 24. Y 4 y 9 son factores de 36.
- 2. Divisibilidad:
- Un número se puede dividir por cualquiera de sus factores sin que quede resto.
- En este caso decimos que el número es divisible por sus factores.
- Los números de los ejemplos anteriores son divisibles por sus factores:
- 24 es divisible por 2, 3 y 4. Y 36 es divisible por 4 y 9.
- 3. Factores comunes de varios números:
- Los factores que son comunes a varios números se denominan factores comunes.
- En nuestros ejemplos, 4 es un factor de 24 y 36.
- 4. El máximo común divisor, MCD, de varios números
- El máximo común divisor, MCD, es el mayor de todos los factores comunes de esos varios números.
- 5. ¿Cómo se calcula el máximo común divisor, MCD? Paso 1.
- En nuestros ejemplos, podríamos sentirnos tentados a decir que 4 es el máximo común divisor de 24 y 36. Pero, espere. Intentemos descomponer esos factores en otros que sean lo más pequeños posible.
- 24 se podría escribir como: 24 = 2 × 2 × 2 × 3.
- 36 también se podría escribir como: 36 = 2 × 2 × 3 × 3.
- En nuestro ejemplo, 2 y 3 no se pueden descomponer en otros números más pequeños.
- 6. Números primos:
- El 2 y el 3 no se pueden descomponer en otros números más pequeños porque son números primos. Esta es la definición misma de los números primos:
- Un número primo no tiene otros factores que el 1 y él mismo, ya que no se puede descomponer en otros números más pequeños.
- Ejemplos de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, etc., esta es una lista infinita.
- 7. ¿Cómo se calcula el máximo común divisor, MCD? Paso 2.
- Hemos visto que es una buena idea descomponer los números en factores lo más pequeños posibles, escribiéndolos como un producto de factores primos. Esta es la definición de descomponer un número en factores primos.
- La descomposición en factores primos de 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3.
- La descomposición en factores primos de 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 22 × 32.
- Para calcular el MCD, simplemente escoge todos los factores primos comunes de ambos números y multiplícalos:
- MCD (24 y 36) = 2 × 2 × 3 = 22 × 3 = 12.
Calcular el máximo común divisor
mcd (143; 161) = ?
Método 1. La descomposición en factores primos:
La descomposición en factores primos de un número (descomposición factorial) = descomponer el número como un producto (multiplicación) de uno o varios números primos.
143 = 11 × 13
143 no es un numero primo sino un numero compuesto.
161 = 7 × 23
161 no es un numero primo sino un numero compuesto.
* Los números naturales que son divisibles solo por 1 y por ellos mismos se llaman números primos. Un número primo tiene exactamente dos divisores: el 1 y él mismo.
* Un número compuesto es un número natural que tiene al menos un divisor diferente de 1 y él mismo.
Calcular el máximo común divisor:
Multiplica todos los factores primos comunes, tomados por sus exponentes más pequeños.
Pero los dos números no tienen factores primos comunes.
El máximo común divisor,
mcd (143; 161) = 1
Números primos entre sí (coprimos, primos relativos).
Desplácese hacia abajo para el segundo método...
Método 2. El algoritmo de Euclides:
Este algoritmo implica el proceso de dividir números y calcular los residuos.
'a' y 'b' son los dos numeros naturales, 'a' >= 'b'.
Divida 'a' por 'b' y obtenga el resto de la operación, 'r'.
Si 'r' = 0, nos detenemos. 'b' = el mcd de 'a' y 'b'.
Si no: Reemplace ('a' por 'b') y ('b' por 'r'). Volver al paso anterior.
Paso 1. Dividir el número mayor por el menor:
161 ÷ 143 = 1 + 18
Paso 2. Divide el número más pequeño por el resto de la operación anterior:
143 ÷ 18 = 7 + 17
Paso 3. Divida el resto del paso 1 por el resto del paso 2:
18 ÷ 17 = 1 + 1
Paso 4. Divida el resto del paso 2 por el resto del paso 3:
17 ÷ 1 = 17 + 0
En este paso, el resto es cero, entonces paramos:
1 es el número que buscábamos: el último resto distinto de cero.
Este es el máximo común divisor.
El máximo común divisor:
mcd (143; 161) = 1
Números primos entre sí (coprimos, primos relativos).
Los dos números no tienen factores primos en común
¿Por qué necesitamos calcular el máximo común divisor?
Una vez que haya calculado el máximo común divisor del numerador y el denominador de una fracción, se vuelve mucho más fácil reducir (simplificar) la fracción a su mínima expresión (el numerador y el denominador más pequeños posibles).
Otras operaciones similares con el máximo común divisor: